Ich habe ein bischen was über die Unendlichkeit gelernt (eigentlich wiederholt). Das Konzept ist in seiner mathematischen Definition wirklich cool und sehr hübsch kontraintuitiv.

• Eine Menge A ist genau dann unendlich, wenn eine echte Teilmenge B von A existiert,
  so dass |A| = |B|

Mit anderen Worten: eine Objekt ist genau dann unendlich, wenn es einen echten Teil des Objektes gibt, der *genauso gross* wie das ganze Objekt ist.

Um das ganze noch zu toppen, gibt es nicht nur eine Art von Unendlichkeit, sondern in der Mengenlehre mindestens zwei: abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich. Beides wurde von Cantor durch zwei unterschiedliche Diagonalisierungsverfahren gezeigt.

Die sind wirklich chic: einmal werden die natürlichen Zahlen in einer Matrix angeordnet und dann im "Zick-Zack" durchlaufen und so abgezählt. Der Trick dabei ist es, nicht die Spalten oder Zeilen entlang zu laufen, da die ja unendlich lang sind, man also niemals in die nächste Zeile/Spalte gelangen würde. Durch den Zick-Zack-Lauf erhält man *endliche* Teilstücke, davon zwar unendlich viele, aber eben endliche Teilstücke. So kann man die natürlichen (und dann auch die rationalen) Zahlen abzählen.

Das klappt aber leider nicht mir den reelen Zahlen. Das zeigt Cantor auch ganz wunderbar. Er ordnet (nein genauer: er versucht es nur) wieder alle reele Zahlen zwischen 0 und 1 in einer Matrix. Jetzt konstruiert er eine neue Zahl und zwar so, dass sie sich

1. in der ersten Stelle von der ersten Stelle der ersten Zahl unterscheidet,
2. in der zweiten Stelle von der zweiten Stelle der zweiten Zahl unterscheidet,
3. in der dritten Stelle von der dritten Stelle der dritten Zahl unterscheidet
4. usw.

Die so konstruierte Zahl kann dann nicht in der Aufzählung vorkommen, da sich sich ja von jeder Zahl mindestens in einer Stelle unterscheidet. Damit ist gezeigt, dass es keine Aufzählung der reelen Zahlen geben kann, es also überabzählbar viele reele Zahlen gibt. Ein wunderbarer Beweis durch Widerspruch.